電験三種(令和5年度上期) 理論 問1

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問題

方針

コンデンサの問題です。(平成21年問1と同じ問題です)
出てくる要素は解答の選択肢を見ると、電界の強さE、電束密度D、電荷Q、誘電率ε、電極板の面積Sと間隔d、コンデンサには電圧V0が加えられた状態です。
・「電界の強さ」の式
・「電束密度」の式
・「コンデンサの電気量」の式
・「静電容量」の式
上記より考えたいと思います。

解法

(ア)

「電界の強さ」の式

$\displaystyle E=\frac{V}{d} \ [V/m] $

$E$:電界の強さ [$V/m$]
$V$:電圧 [$V$]
$d$:電極間の距離 [$m$]

電界の強さEを求めます。
電極間の距離はどちらもd、コンデンサの電圧はどちらもV0なので、「電界の強さ」の式に代入します。

$\displaystyle E_1=\frac{V_0}{d} E_2=\frac{V_0}{d} $

これに該当する選択肢は(3)(4)となります。

(イ)

「電束密度」の式

$\displaystyle D=εE \ [C/m^2] $

$D$:電束密度 [$C/m^2$]
$ε$:誘電率
$E$:電界の強さ [$V/m$]

電束密度Dを求めます。
誘電率εは、比誘電率εs、真空の誘電率ε0のとき、ε=εsε0なので、
コンデンサC1の誘電率は、εr1ε0となります。
コンデンサC2の誘電率は、εr2ε0となります。
「電束密度」の式に誘電率と、(ア)の電界の強さを代入します。

$\displaystyle D_1=ε_{r1}ε_0E_1=\frac{ε_{r1}ε_0}{d}V_0 $

$\displaystyle D_2=ε_{r2}ε_0E_2=\frac{ε_{r2}ε_0}{d}V_0 $

これに該当する選択肢は(2)(3)(4)(5)となります。

(ウ)

「コンデンサの電気量」の式

$\displaystyle Q=CV \ [C] $

$Q$:電荷 [$C$]
$C$:静電容量 [$F$]
$V$:電圧 [$V$]

「静電容量」の式

$\displaystyle C=\frac{εA}{d} \ [F] $

$C$:静電容量 [$F$]
$ε$:誘電率 [$F/m$]
$A$:板の面積 [$m^2$]
$d$:板の距離 [$m$]

電気量Qを求めます。接続されている電圧Vは分かっているので、静電容量Cを求めます。
板の面積はどちらもS、電極間の距離はどちらもdで、(イ)の誘電率を「静電容量」の式に代入します。

$\displaystyle C_1=\frac{ε_{r1}ε_0S}{d} C_2=\frac{ε_{r2}ε_0S}{d} $

コンデンサの電圧はどちらもV0なので、求めた静電容量を「コンデンサの電気量」の式に代入します。

$\displaystyle Q_1=C_1V_0=\frac{ε_{r1}ε_0S}{d}V_0 Q_2=C_2V_0=\frac{ε_{r2}ε_0S}{d}V_0 $

これに該当する選択肢は(1)(2)(4)となります。

解答

(ア)~(ウ)すべてを満たすのは(4)となります。

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