電験三種(令和5年度下期) 理論 問12

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問題

方針

電子の運動に関する問題です。(平成23年問12と同じ問題です)
電界中の電子の受ける力は「電荷・電界のクーロン力」より求めます。
電子の運動に関しては、一般的な力学式「運動方程式」「加速度と時間の関係」「加速度と移動距離の関係」「運動エネルギー」を使用して考えたいと思います。

解法

(ア)

「電界のクーロン力」の式

$\displaystyle F=qE \ [N] $

$F$:クーロン力 [$N$]
$q$:電荷 [$C$]
$E$:電界の強さ [$V/m$]

電荷eが電界Eより受ける力は、「電界のクーロン力」の式より以下となります。

$\displaystyle F=qE=eE \ [N] $

(ア)は「eE」となります。

(イ)

「運動方程式」

$\displaystyle F=ma \ [N][kg・m/s^2] $

$F$:力 [$N$]
$m$:質量 [$kg$]
$a$:加速度 [$m/s^{2}$]

(ア)の電子の運動方程式より、加速度aは以下となります。

$\displaystyle m_0a=qE $

$\displaystyle a=\frac{qE}{m_0} $

「加速度と時間の関係」の式

$\displaystyle v=at \ [m/s] $

$v$:速度 [$m/s$]
$t$:時間 [$s$]
$a$:加速度 [$m/s^{2}$]

「加速度と時間の関係」の式より、以下のように速度vは時間tの一次関数となります。
従って(イ)は「一次」となります。

$\displaystyle v=at=\frac{qE}{m_0}t \ [m/s] $

(ウ)

「加速度と移動距離の関係」の式

$\displaystyle x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 \ [m] $

$x$:距離 [$m$]
$v_0$:初速度 [$m/s$]
$t$:時間 [$s$]
$a$:加速度 [$m/s^{2}$]

「加速度と移動距離の関係」の式より、移動距離xは、初速度v0=0ならば、以下のように時間tの二次関数となります。
従って(ウ)は「二次」となります。

$\displaystyle x=v_0t+\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\frac{qE}{m_0}t^2 \ [m] $

(エ)

「運動エネルギー」の式

$\displaystyle W=\frac{1}{2}mv^2 \ [J] $

$W$:運動エネルギー [$J$]
$m$:質量 [$kg$]
$v$:速度 [$m/s$]

「運動エネルギー」の式より、運動エネルギーWは、質量mと速度vの二次関数となります。
速度vにv=atを代入すると、以下のように時間tの2乗で増加することがわかります。
従って(エ)は「2乗」となります。

$\displaystyle W=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m_0\left(\frac{qE}{m_0}t\right)^2 \ [J] $

解答

(ア)~(エ)すべてを満たすのは(5)となります。

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