問題
方針
「RLC並列回路」の合成インピーダンスに関する問題です。(平成24年問10と同じ問題ですが、選択肢の順番が違います)
コンデンサのリアクタンスは「容量性リアクタンス」の式、コイルのリアクタンスは「誘導性リアクタンス」の式を使用します。
解法
「容量性リアクタンス」の式
$\displaystyle X_C=\frac{1}{ωC}=\frac{1}{2πfC} \ [Ω] $
$ω$：角周波数 [$rad/s$]
$C$：静電容量 [$F$]
$f$：周波数 [$Hz$]
「誘導性リアクタンス」の式
$\displaystyle X_L=ωL=2πfL \ [Ω] $
$ω$：角周波数 [$rad/s$]
$L$：インダクタンス [$H$]
$f$：周波数 [$Hz$]
静電容量C＝1/(100π)F、インダクタンスL＝1/(4π)Hより、周波数f＝10Hzの時の容量性リアクタンス、誘導性リアクタンスをそれぞれ求めます。
$\displaystyle X_C=\frac{1}{2πfC}=\frac{1}{2π×10×\displaystyle\frac{1}{100π}}=5 \ [Ω] $
$\displaystyle X_L=2πfL=2π×10×\frac{1}{4π}=5 \ [Ω] $
「共振回路」
RLC直列回路(並列回路)において、誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが等しく、互いを打ち消しあう状態を共振と呼ぶ。
共振回路では、誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが無くなり抵抗だけの成分となり、電流と電圧は同相となる。
「RLC並列共振回路」
等価回路上従ってコイルとコンデンサ部分は無くすことができるので、回路の合成インピーダンスは抵抗Rのみとなる。
周波数f＝10Hzの時の容量性リアクタンスと誘導性リアクタンスはともに5Ωで等しいので、上記の「共振回路」となります。従ってコイルLとコンデンサCは無くすことができるので、並列回路の合成インピーダンスは抵抗R2のみとなります。
抵抗R1とR2の直列回路となるので、抵抗R1＝20Ω、R2＝30Ωより、抵抗R1に流れる電流I10Hzは以下となります。
$\displaystyle I_{10Hz}=\frac{V}{20+30}=\frac{V}{50} $
同様に、静電容量C＝1/(100π)F、インダクタンスL＝1/(4π)Hより、周波数f＝10MHzの時の容量性リアクタンス、誘導性リアクタンスをそれぞれ求めます。
$\displaystyle X_C=\frac{1}{2πfC}=\frac{1}{2π×10×10^6×\displaystyle\frac{1}{100π}}=5×10^{-6} \ [Ω] $
$\displaystyle X_L=2πfL=2π×10×10^6×\frac{1}{4π}=5×10^6 \ [Ω] $
上記のリアクタンスと、R2＝30Ωより並列回路の合成インピーダンスを求めることができます。
今、それぞれの値を比較すると、XL＞R2＞＞XCで、容量性リアクタンスXCが極端に小さいので、回路上の電流のほとんどはコンデンサCに流れることになります。ここでは、コンデンサ部分を短絡とみなし、抵抗R1だけの回路と考えます。
抵抗R1＝20Ωより、抵抗R1に流れる電流I10MHzは以下となります。
$\displaystyle I_{10MHz}≒\frac{V}{20} $
電流比を求めます。
$\displaystyle \frac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}=\frac{\displaystyle\frac{V}{50}}{\displaystyle\frac{V}{20}}=0.4 $
解答
解答は(5)となります。
