三角関数
直角三角形に成り立つ関係
三平方の定理（ピタゴラスの定理）
a：b：c＝3：4：5の比率が成り立つ三角形は直角三角形となる。
$\displaystyle c^2=a^2+b^2 $
直角三角形の比
三角関数
$\displaystyle sinθ=\frac{b}{c} cosθ=\frac{a}{c} tanθ=\frac{b}{a} $
$\displaystyle b=c \ sinθ a=c \ cosθ $
角度と値
| $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ | $120^{\circ}$ | $135^{\circ}$ | $150^{\circ}$ | $180^{\circ}$ |
| $\displaystyle \frac{π}{6}$ | $\displaystyle \frac{π}{4}$ | $\displaystyle \frac{π}{3}$ | $\displaystyle \frac{π}{2}$ | $\displaystyle \frac{2π}{3}$ | $\displaystyle \frac{3π}{4}$ | $\displaystyle \frac{5π}{6}$ | $\displaystyle π$ |
sinーcosの関係式
$\displaystyle cosθ=sin\left(θ+\frac{π}{2}\right) $
$\displaystyle -sinθ=sin(θ+π) $
$\displaystyle tanθ=\frac{sinθ}{cosθ} $
$\displaystyle sinθ^2+cosθ^2=1 $
$\displaystyle cos\left(\frac{π}{2}-θ\right)=sinθ $
$\displaystyle cos\left(\frac{π}{2}+θ\right)=-sinθ $
2倍角の公式
$\displaystyle sin2θ=2sinθcosθ $
$ cos2θ=cos^2θ+sin^2θ=2cos^2θ-1=1-2sin^2θ $
$\displaystyle tan2θ=\frac{2tanθ}{1-tan^2θ} $
三角関数→ラジアン変換
$\displaystyle θ=tan^{-1}A→A=tanθ $
複素数
数学ではiで表すが、電気では電流と区別するためにjを使用する。
縦軸に虚数、横軸に実数をとり、1つの式で座標を表すもの。
座標zは、z=x＋jyで表され、xを実部、yを虚部で示す。
$\displaystyle \dot{z}=x+jy=z(cosθ+jsinθ) $
虚数単位
$\displaystyle j^2=-1 -j=\frac{1}{j} $
複素数の実数化
$\displaystyle W(jω)=a+jb→|W(jω)|=\sqrt{a^2+b^2} $
複素数の合理化
分母の虚数を無くしたい時は、分子分母に掛ければ合理化できる。
$\displaystyle (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc) $
$\displaystyle (a+jb)(a-jb)=a^2+b^2 $
正弦波
正弦波の単位
周波数（f）
1秒間に繰り返す波形(周期)の数のこと。単位[Hz]。
交流の周波数が50Hzなら、1秒間に50回電流の流れる方向が変化する。
$\displaystyle f=\frac{1}{T} \ [Hz] $
$f$：周波数 [$Hz$]
$T$：周期 [$s$]
周期（T）
1波形の時間。単位[s]。
$\displaystyle T=\frac{1}{f} \ [s] $
$T$：周期 [$s$]
$f$：周波数 [$Hz$]
波長（λ）
1波形の長さ。単位[m]。
角周波数（ω）
1秒間に回転する角度のこと。単位[rad/s]。
$\displaystyle ω=2πf＝2π\frac{N}{60} \ [rad/s] $
$ω$：角周波数 [$rad/s$]
$f$：周波数 [$Hz$]
$N$：回転速度 [$min^{-1}$]
回転速度（N）
1分間に物体が回転する速さ(回数)のこと。単位[min-1]。
電動機などで使用する。
速度（v）
$\displaystyle v=rω＝\frac{λ}{T}=λf \ [m/s] $
$v$：速度 [$m/s$]
$r$：回転半径 [$m$]
$ω$：角周波数 [$rad/s$]
$λ$：波長 [$m$]
$T$：周期 [$s$]
$f$：周波数 [$Hz$]
振幅（Em）
波形の縦軸中央から最大値までの幅。
正弦波の表現方法
角度θ、大きさE、実部(X軸)a、虚部(Y軸)bなどを用いて二次元の位置を表す。
・極座標表示 $\dot{E}=E∠θ$
・指数関数表示 $\dot{E}=Ee^{jθ}$
・直交座標表示 $\dot{E}=a＋jb$
・三角関数表示 $\dot{E}=E(cosθ＋jsinθ)$
対数
以下、底10を省略している。
$\displaystyle log1=0、log2=0.3、log4=0.6、log8=0.9、log10=1 $
$\displaystyle log10^2=2 $
$\displaystyle log15=log\frac{3×10}{2}=log3+log10-log2 $
関数
X次関数
対象となる変数が何個あるかを表す。
例：対象変数ｘの場合
y=5x （yはxの一次関数）
y=5x2 （yはxの二次関数）
円の方程式
点(a、b)を中心とする半径rの円を表す。
$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $
関数の表現
- 比例的：一定のペースで上昇すること。
- 指数的：最初は緩やかだが、やがて急激に上昇すること。
- 対数的：最初は急激に上昇し、やがて緩やかになること。
面積・長さ
- 円の面積：πｒ2
- 球の面積：4πｒ2
- 円周の長さ：2πr
- 管の表面積(電熱線など)：πdℓ（d：管直径、ℓ：長さ）
- 台形の面積：(上底+下底)×高さ÷2
数学の定理・技法
最大の定理
2つの正の数a、bにおいて、a+b=一定ならば、a=bの時、a×bは最大となる。
最小の定理
2つの正の数a、bにおいて、a×b=一定ならば、a=bの時、a+bが最小となる。
部分分数
$\displaystyle \frac{b}{n(n+a)}=\frac{b}{a}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right) $
2次方程式の解の公式
$\displaystyle ax^2+bx+c=0 \ (a≠0) $
$\displaystyle x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
微分・積分
微分
変化を細かく分けて瞬間の変化量を表すもの。関数の曲線では瞬間の傾きとして表現される。
時間微分
時間微分は、変数を時間で微分したものである。
変位xを時間tで微分すると速度vとなる。速度vを時間tで微分すると加速度αとなる。
$\displaystyle v=\frac{dx}{dt} α=\frac{dv}{dt} $
三角関数の微分
$\displaystyle (sinx)’=cosx $
$\displaystyle (cosx)’=-sinx $
$\displaystyle (tanx)’=\frac{1}{cos^2x} $
単振動と微分の関係式
変位：$\displaystyle x=Asinωt$
速度：$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=Aωcosωt$
加速度：$\displaystyle α=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=-Aω^2sinωt=-ω^2x$
積分
微分で求めた瞬間の変化量を足し合わせて全体量を表すもの。関数の曲線では足し合わせた領域の面積して表現される。
時間積分
時間積分は、変数を時間で積分したものである。
加速度αを時間tで積分すると速度vとなる。速度vを時間tで積分すると変位xとなる。
$\displaystyle v=\int αdt x=\int vdt $
時間積分において横軸に時間t、縦軸に速度vの関数の曲線図がある場合、求めたい時間区間と曲線に囲まれた面積が移動距離xとなる。
数学に関する用語
- 有効数字(加減算)：小数点以下の桁数を、元の値の最小桁数に合わせる。(小数点以下のみの数)
- 有効数字(乗除算)：元の値の最小桁数に合わせる。(小数点前後を合わせた数)
- 定格：通常使用時の限度値の意味。(瞬間の最大値ではない)
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