問題
方針
誘電率を挿入したコンデンサの静電容量の問題です。(平成15年問2と同じ問題ですが、与えられた数値が違います)
「異なる誘電率の合体コンデンサ」より並列接続の二つのコンデンサに分解して考えます。
「静電容量」の式より静電容量を求めたいと思います。
解法
「静電容量」の式
$\displaystyle C=\frac{εA}{d} \ [F] $
$C$：静電容量 [$F$]
$ε$：誘電率 [$F/m$]
$A$：板の面積 [$m^2$]
$d$：板の距離 [$m$]
「異なる誘電率の合体コンデンサ」
誘電率が異なる誘電体や、極板が挿入された場合は、直列・並列接続の二つのコンデンサに分解して考える。
「コンデンサの並列接続」
合成静電容量は、各静電容量の和で求めることができる。
$\displaystyle C=C_1+C_2 $
「静電容量」の式から、図1のコンデンサの静電容量C1を求めます。
比誘電率(εS)は、真空の誘電率(ε0)に対する媒質の誘電率(ε)なので、ε＝5ε0となります。
板の正方形の面積がA＝ℓ2、コンデンサの板の距離はdより静電容量は以下となります。
$\displaystyle C_1=5{ε_0}\frac{l^2}{d} $
図2のコンデンサは、右半分に誘電体が挿入されているので、並列接続の二つのコンデンサと考えます。
左側のコンデンサC21は、板の面積がA＝(ℓ／2)×ℓ＝ℓ2／2、コンデンサの板の距離はd、誘電率は真空なのでε0となります。
$\displaystyle C_{21}={ε_0}\frac{\displaystyle\frac{l^2}{2}}{d} $
左側のコンデンサC22は、板の面積がA＝(ℓ／2)×ℓ＝ℓ2／2、コンデンサの板の距離はd、誘電率は5ε0となります。
$\displaystyle C_{22}={5ε_0}\frac{\displaystyle\frac{l^2}{2}}{d} $
コンデンサの並列接続の合成静電容量C2を求めます。
$\displaystyle C_2=C_{21}+C_{22}={ε_0}\frac{\displaystyle\frac{l^2}{2}}{d}+5{ε_0}\frac{\displaystyle\frac{l^2}{2}}{d}=3{ε_0}\frac{l^2}{d} $
C1とC2の比を求めます。
$\displaystyle C_1:C_2=5{ε_0}\frac{l^2}{d}:3{ε_0}\frac{l^2}{d} $
$\displaystyle C_1:C_2=5:3 $
解答
解答は(4)となります。
